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大数の法則(たいすうのほうそく、law of large numbers)

BIGを購入すると、0が多いくじが発券される、弱いチームが勝つくじが多く発券されると感じることがないでしょうか。管理人はくじ運が悪いのか、期待薄のくじ(特に0が6個以上)が多く発券されます。

totoオフィシャルのFAQでは、BIGは「1」「0」「2」の3つの選択肢を各試合ごとに1/3ずつランダムに選択する仕組みと記載されています。

しかし、期待薄のくじばかりが発券されると、1/3ずつランダムに選択されず、「0」が多くなるように設定されているのではないかと疑ってしまいます。

大数の法則を利用することで、BIGのくじが各試合ごとに1/3ずつランダムに選択されていることが確認できると思います。また、1/3ずつランダムであることを確認するために必要なくじの購入口数もわかると思います。本ページでは、大数の法則について説明します。

大数の法則とは

表と裏の出る確率が1/2の理想的なコインを使用したコイン投げを例に挙げます。

実際にコイン投げをして、一部分だけに注目すると、表と裏が出る確率が1/2ではないことがありますが、コイン投げを行う回数を限りなく増やせば、表と裏が出る確率が1/2に近づきます。全体として見ればある確率に近づくのが大数の法則です。

コイン投げにおいて大数の法則が成り立つためには、X回目に行ったコイン投げの結果が、その他のコイン投げの結果に影響を与えることがない、コイン投げが独立な試行であることが前提条件となります。

独立な試行とは、いくつかの試行を行ったときにどの試行の結果も他の試行の結果に影響を与えない試行です。

理想的なコイン投げの表と裏が出る確率

コイン投げで大数の法則が成り立つのか確認してみました。確認方法は、ExcelでRANDBETWEEN関数を使用した簡単なものです。このExcelファイルは、ページ下部にてダウンロード可能です。

コイン投げ試行結果(グラフデータ)

コインの表が出る確率は、試行回数を増やすほど50%に近づく傾向となり、大数の法則が成り立つことが確認できます。

10000回コイン投げを行えば、コインの表が出る確率は49〜51%の範囲に収まると思えます。

コイン投げ試行結果(数値データ一部抜粋)

グラフデータに使用した数値データの一部抜粋になります。誤差平均は試行回数を増やすほど小さくなる傾向となり、大数の法則が成り立つことが確認できます。

試行回数
[回]
コインの表が出る確率[%] 誤差平均
[%]
No1 No2 No3 No4 No5 No6 No7
1 100.00 0.00 100.00 0.00 100.00 0.00 0.00 50.00
2 100.00 50.00 100.00 0.00 100.00 0.00 0.00 42.86
3 100.00 33.33 100.00 33.33 100.00 33.33 33.33 60.95
4 75.00 50.00 100.00 50.00 100.00 50.00 25.00 21.43
5 60.00 60.00 100.00 40.00 80.00 40.00 20.00 21.43
10 50.00 60.00 80.00 40.00 60.00 50.00 30.00 11.43
20 55.00 60.00 55.00 60.00 65.00 55.00 40.00 8.57
30 43.33 63.33 56.67 60.00 60.00 46.67 43.33 8.10
40 45.00 55.00 52.50 57.50 60.00 37.50 47.50 6.43
50 44.00 58.00 52.00 54.00 50.00 44.00 48.00 4.00
100 42.00 54.00 49.00 53.00 54.00 43.00 44.00 4.71
200 47.00 51.50 50.00 53.50 49.00 47.50 47.00 2.07
300 49.67 49.67 50.33 50.67 47.33 50.00 46.33 1.14
400 49.50 51.25 51.50 50.50 49.50 50.75 46.25 1.25
500 48.60 50.40 53.40 50.20 50.40 50.80 46.40 1.46
1000 49.50 49.10 53.30 48.70 49.70 52.30 47.60 1.57
2000 49.90 48.50 51.70 49.35 50.70 50.65 49.25 0.86
3000 49.43 49.37 51.90 50.00 50.47 51.17 50.00 0.68
4000 50.25 49.13 51.50 49.90 50.23 51.25 50.33 0.65
5000 49.98 49.06 51.04 49.44 50.22 51.52 50.02 0.62
10000 49.93 49.26 50.61 49.35 50.98 50.93 49.92 0.58
20000 49.83 49.68 50.94 49.93 50.75 50.58 49.90 0.42
30000 49.97 49.86 50.70 50.04 50.79 50.23 50.38 0.33
40000 49.88 49.81 50.52 49.98 50.46 50.26 50.32 0.27
50000 49.77 49.83 50.45 50.08 50.43 50.15 50.09 0.23

※誤差平均:No1〜No7のコインの表が出る確率から50を引いた絶対値を平均した値

大数の法則確認用Excel

マクロを組むと悪意のある行為が可能となるため、あえてマクロを使用しないで確認用のExcelを作成しました。使用方法はExcelファイルに記載しております。

Excelファイル(ファイルサイズ4.2MB)のダウンロードはこちらから

大数の法則を利用した事例

大数の法則はリスク管理に取り入れられています。統計をベースにした各事象の発生確率を使い、さまざまなものに利用されています。

  • 保険料算出(生命保険、火災保険、自動車保険など):疾患、火災、事故の発生率
  • 将来の年金掛金や給付額見込み:勤続年数、年齢別給与水準、年齢別の年金脱退確率
  • 消費者金融サービス:貸し倒れ発生確率
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